Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角C满足tan2C=-
（1）求sinC的值；（2）当a=2，c=4，求△ABC的面积．

Answer

（1）由C为锐角，得到C的范围，进而得到2C的范围，可得出cos2C小于0，由tan2C的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos2C的值，再根据二倍角的余弦函数公式求出sinC的值即可；
（2）由（1）求出的sinC的值及C为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再由a与c的值，利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
（1）∵C为锐角，即C∈（0，90°），
∴2C∈（90°，180°），又tan2C=-，
∴cos2C=-=-，
又cos2C=1-2sin2C，
∴sin2C==，且C为锐角，
则sinC=；
（2）由（1）得：sinC=，
∴cosC==，且a=2，c=4，
根据余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：16=4+b2-b，即b2-b-12=0，
解得：b=2或b=-（舍去），
则△ABC的面积S=absinC=×2×2×=．