Question

在数列{a_n}中，a_n+1+a_n=2n-44（n∈N*，）a₁=-23
（1）求a_n；（2）设S_n为{a_n}的前n项和，求S_n的最小值．

Answer

（1）由an+1+an=2n-44得an+2+an+1=2（n+1）-44，两式相减得出得an+2-an=2，奇数项构成等差数列，偶数项构成等差数列且公差为2．求出a2=1-19
对n分奇偶数写出通项公式．
（2）对n分奇偶数求和，注意分组，根据an+1+an=2n-44相邻两项结合，逐类求解，再取最小值．
【解析】
（1）∵an+1+an=2n-44①∴an+2+an+1=2（n+1）-44②，②-①得an+2-an=2，
∴数列{an}中，奇数项构成等差数列，偶数项构成等差数列且公差为2．
由已知，a1+a2=2-44=-42，a2=-19
当n是奇数时，an=a1+（）×2=n-24．
当n是偶数时，an=a2+（ ）×2=n-21．
∴an=
（2）当n是奇数时，
Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-2+an-1）+an
=2[1+3+…（n-2）]-44×+（n-24）
=2×-44×+（n-24）
=n2-22n-=（n-22）2-
当n=21或23时取得最小值-243．
当n是偶数时，
Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）
=2[（1+3+…+（n-1）]-×44
=2×-22n
=（n-22）2-242
当n=22时取得最小值-242．
所以当n=21或23时Sn取得最小值-243．