Question

已知双曲线（b＞a＞0），0为坐标原点，离心率e=2，点M（，）在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P、Q两点，且=0，求：|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer

（1）欲求双曲线的方程，只需找到含a，b，c的方程，因为双曲线的离心率e=2，且点M（，）在双曲线上，所以可以得到两个关于a，b，c的方程，再根据c2=a2+b2，就可解出a，b，c，求出双曲线的方程．
（2）因为=0，所以，设直线OP的方程为y=kx，则直线OP的方程为y=-x，分别代入双曲线方程，即可得P，Q的坐标用含k的式子表示，再代入|OP|2+|OQ|2，化简，利用均值不等式求最值即可．
【解析】
（1）∵离心率e=2∴=2
∵点M（，）在双曲线上，∴
又∵c2=a2+b2
∴双曲线的方程为
（2）设P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
直线OQ的方程为y=kx，∵=0∴OP⊥OQ，∴直线OP的方程为y=-x
化简得x12=，y12=，x22=，y22=
∴x12+y12+x22+y22=
=+=
设1+k2=t，则t≥1，
∴|OP|2+|OQ|2==≥=24
当且仅当t=2，即k=±1时，等号成立．
∴|OP|2+|OQ|2的最小值为24．