Question

已知函数f（x）=x³+x²+（a²-3a）x-2a
（1）如果对任意x∈（1，2]，f'（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数f（x）的两个极值点分别为x₁x₂判断①x₁+x₂+a②x₁²+x₂²+a²③x₁³+x₂³+a³是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a）并求出g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H（x）=[g（x）-27]，m，n∈（0，1）且m≠n，试比较|H（m）-H（n）|与|e^m-eⁿ|（e为自然对数的底）的大小，并证明．

Answer

（1）由已知中函数f（x）=x3+x2+（a2-3a）x-2a，可求出f'（x）的解析式，根据二次函数的图象和性质可得对任意x∈（1，2]，f'（x）＞a2恒成立时，实数a的取值范围；
（2）由（1）中f'（x）的解析式，可求出x1x2，进而判断出①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否为定值及函数g（a）的解析式，及g（a）的最小值；
（3）根据（2）中g（a）的解析式，我们可以求出H（x）=[g（x）-27]的解析式，构造函数F（x）=H（x）-ex，利用导数法，可判断出F（x）在区间（0，1）上的单调性，进而判断出当m，n∈（0，1）且m≠n时，|H（m）-H（n）|与|em-en|的大小．
【解析】
（1）∵函数f（x）=x3+x2+（a2-3a）x-2a
∴函数f′（x）=x2+（a-3）x+（a2-3a）
则f′（x）-a2=x2+（a-3）x-3a=（x+a）（x-3）
若对任意x∈（1，2]，f'（x）＞a2恒成立，
则对任意x∈（1，2]，f′（x）-a2＞0恒成立
则a＜-2．
（2）令f′（x）=0
则x=3或x=-a
则①x1+x2+a=3为定值；
②x12+x22+a2=2a2+9不为定值；
此时g（a）=2a2+9，当a=0时有最小值9；
③x13+x23+a3=27为定值；
（3）∵g（a）=2a2+9，
∴H（x）=[g（x）-27]=（2x2-18），
令F（x）=H（x）-ex=（2x2-18）-ex，
则F′（x）=x-ex，
当x∈（0，1）时，F′（x）＜0恒成立
即F（x）在区间（0，1）上为减函数
当m，n∈（0，1）且m≠n时，不妨令m＞n
则F（m）-F（n）=[H（m）-em]-[H（n）-en]＜0
即[H（m）-em]＜[H（n）-en]
即H（m）-H（m）＜em-en，
即|H（m）-H（n）|＜|em-en|