Question

如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率为的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的交点为P，延长PF₂交抛物线于点Q，M是抛物线C₁上一动点，且M在P与Q之间运动．
（1）当m=3时，求椭圆C₂的标准方程；
（2）若|PF₂|=5且P点横坐标为，求面积△MPQ的最大值．

Answer

（1）：当m=3时，y2=12x，可设椭圆方程为 =1（a＞b＞0），结合已知可求c及e==，可求a，再由b2=a2-c2可求b，进而可求椭圆方程
（2）由及|PF2|=可求m，此时抛物线方程为y2=12x，F2（3，0），P（2，2），从而可求直线PQ的方程，联立 ，可求Q（，-3），及PQ，设点M（）到直线PQ的距离为d，由题意可知，由点到直线的距离公式可得d==||，结合二次函数的性质可求d的最大，代入可求MPQ面积的最大值
【解析】
（1）：当m=3时，y2=12x，F1（-3，0），F2（3，0）…（1分）
设椭圆方程为 =1（a＞b＞0），则c=3，又e==，所以a=6，b2=27
所以椭圆C2方程为（4分）
（2）∵
∴|PF2|=
又|PF2|=5∴m=3
此时抛物线方程为y2=12x，F2（3，0），xp=2…（6分）
又P在x轴上方，P（2，2）
∴直线PQ的斜率为：
∴直线PQ的方程为：y=-2（x-3）…（8分）
联立 ，得2x2-13x+18=0
∵直线PQ的斜率为，由图知x＞2
所以代入抛物线方程得，即Q（，-3）
PQ==
∵2x2-13x+18=0
∴
=
==…（11分）
设点M（）到直线PQ的距离为d，
∵M在P与Q之间运动，∴
d==||
当t=-，dmax=   …（14分）
即MPQ面积的最大值为      …（15分）