Question

已知函数f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³．
（1）设a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．

Answer

（1）把a=1代入，找出导函数为0的自变量，看在自变量左右两侧导函数的符号来求极值即可．
（2）转化为求导函数的绝对值在x∈[1，4a]上的最大值即可．
【解析】
（1）当a=1时，对函数f（x）求导数，得f′（x）=3x2-6x-9．
令f′（x）=0，解得x1=-1，x2=3．
列表讨论f（x），f′（x）的变化情况：

所以，f（x）的极大值是f（-1）=6，极小值是f（3）=-26．
（2）f′（x）=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称．
若，则f′（x）在[1，4a]上是增函数，
从而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3-6a-9a2，最大值是f′（4a）=15a2．
由|f′（x）|≤12a，得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a，于是有（1）=3-6a-9a2≥-12a，且f′（4a）=15a2≤12a．
由f′（1）≥-12a得-≤a≤1，由f′（4a）≤12a得
所以，即．
若a＞1，则∵|f′（a）|=15a2＞12a．故当x∈[1，4a]时|f′（x）|≤12a不恒成立．
所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范围是