Question

若函数f（x）=在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数．
（1）试求实数a的取值范围．
（2）若a=2，求f（x）=c有三个不同实根时，c的取值范围．
（说明：第二问能用f（x）表达即可，不必算出最结果．）

Answer

（1）对f（x）求导，由已知条件函数f（x）=在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，将问题转化为f′（x）=x2-ax+a2-13≤0在区间（1，4）上恒成立，和f′（x）=x2-ax+a2-13≥0在区间（1，4）上恒成立，两个恒成立问题，从而求解；
（2）把a=2代入f（x），然后求导，求出f（x）的单调区间，利用数形结合的思想，画出图形进行求解．
【解析】
（1）∵函数f（x）=
∴f′（x）=x2-ax+a2-13，∵f（x）在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数．
∴f′（x）=x2-ax+a2-13≤0在区间（6，+∞）上恒成立，
f′（x）=x2-ax+a2-13≥0在区间（6，+∞）上恒成立，
由f′（x）=x2-ax+a2-13开口向上，
∴只需
∴
∴a∈[1，3]
∴a的取值范围为[1，3]．
（2）∵a=2，f（x）=，
∴f′（x）=x2-2x-9，
∴令f′（x）=x2-2x-9≥0即x≤1-或x≥1+，
∴f（x）的增区间为（-∞，1-），（1+，+∞），减区间为（1-，1+）

X
y’ + - +
y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

∴f（x）的大致图象如图所示：
令y=c，则由图可知，当