Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，f（0）=1，且对称轴是x=-1，求g（2）+g（-2）的值；
（2）在（1）条件下，求f（x）在区间[t，t+2]（t∈R）上的最小值f（x）_min．

Answer

（1）由f（-1）=0，f（0）=1，且对称轴是x=-1，根据二次函数的对称轴公式及函数值得到关于a，b及c的方程组，求出方程组的解集即可得到a，b及c的值，从而确定出f（x）的解析式，进而得到g（x）的解析式，由2大于0代入g（x）=f（x）中求出g（2）的值，由-2小于0，把x=-2代入g（x）=-f（x）中求出g（-2）的值，即可求出所求式子的值；
（2）根据顶点横坐标1小于t，1在区间[t，t+2]，以及1大于t+2，分三种情况根据二次函数的单调性，利用求最值的方法分别求出两种情况下f（x）的最小值，联立得到f（x）的最小值关于t的分段函数解析式．
【解析】
（1）∵，即，
解得：，
∴f（x）=（x+1）2，（3分）
∴，
∴g（2）+g（-2）=8；（6分）
（2）当t+2≤-1时，即t≤-3时f（x）=（x+1）2在区间[t，t+2]上单调递减．
f（x）min=f（t+2）=（t+3）2（8分）
当t＜-1＜t+2时，即-3＜t＜-1时f（x）=（x+1）2在区间[t，-1]上单调递减，
f（x）=（x+1）2在区间[-1，t+2]上单调递增，
f（x）min=f（-1）=0（10分）
当t≥-1时，f（x）=（x+1）2在区间[t，t+2]上单调递增，
f（x）min=f（t）=（t+1）2（12分）
综上所述：．（14分）