Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．

Answer

（1）由直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°，我们要求正三棱柱的侧棱长，关键是要找出AD在侧面BB1C1C上的射影，然后求出A点到侧面BB1C1C的距离，分析易得△ABC中BC边的中线AE，即为A点到侧面BB1C1C的距离，求出AE后，我们易求出AD的长，解三角形ACD可求出CD的长，然后根据D为侧棱CC1的中点，进而可以求出三棱柱的侧棱长；
（2）过E作EF⊥BD于F，连接AF后，我们结合（1）的结论可得EF即为AF在侧面BB1C1C上的射影，由三垂线定理，我们易得∠AFE为二面角A-BD-C的平面角，解三角形AEF后，即可求解；
（3）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，则平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．EG的长为点E到平面ABD的距离．解三角形AEF可以求出EG的长，进而得到点C到平面ABD的距离．
【解析】
（Ⅰ）设正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连接AE．
∵△ABC是正三角形，
∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥侧面BB1C1C，
且两平面交线为BC，
∴AE⊥侧面BB1C1C．
连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面BB1C1C所成的角．
∴∠ADE=45°．
在Rt△AED中，，解得．
∴此正三棱柱的侧棱长为．
（Ⅱ）过E作EF⊥BD于F，连接AF．
∵AE⊥侧面BB1C1C，∴EF是AF在平面BCD内的射影．
由三垂线定理，可知AF⊥BD．
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，
，
∴．
又，
∴在Rt△AEF中，．
故二面角A-BD-C的大小为arctan3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，BD⊥平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，
过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD．
∴EG的长为点E到平面ABD的距离．
在Rt△AEF中，．
∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为．