Question

已知数列{a_n}满足，且S_n=n（2n-1）a_n，
（1）求a₂，a₃的值；猜想a_n的表达式并用数学归纳法证明
（2）求．

Answer

（1）通过n=2，3，求出a2，a3，猜想an的表达式，利用数学归纳法证明即可．
（2）利用（1）的结果，利用裂项法求出Sn的表达式，然后求出数列的极限．
【解析】
（1），…（2分）
猜想：（3分）
下证明：
①当n=1时，，满足题意，正确．
②假设n=k时猜想正确，即，
那么Sk+1=（k+1）（2k+1）ak+1，
Sk=k（2k-1）ak，
两式作差可得：ak+1=（k+1）（2k+1）ak+1-k（2k-1）×，
ak+1（2k2+3k）=
∴═，
由①②可知猜想正确．…（8分）
（2）

∴…（12分）