Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，长度为b（b为定值且b＜a）的线段EF在面对角线A₁C₁上滑动，G是棱BB₁上的动点（G不与端点B₁、B重合），下列四个判断：
①三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面积的一半；
②三棱锥B₁-DEF的体积不变；
③三棱锥G-ADD₁的体积等于三棱锥B-A₁AD₁的体积；
④正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的表面积是3πa²．
其中正确命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer

根据正方体的结构特征，以及几何体表面积、体积公式，结合等面积、等体积转化的方法，逐一考察各选项，作出判断．
①错． 将正方体ABCD-A1B1C1D1 沿对角面ACC1A1切割，可分成两个全等的三棱柱，
三棱柱ABC-A1B1C1与三棱柱ADC-A1D1C1的，各自的体积为正方体的一半，但表面积是正方体表面积一半再加上截面ACC1A1的面积．
②对．V B1-DEF=V D-B1EF，底面△B1EF的面积保持不变，顶点D到底面△B1EF的距离为棱长a，也不变．所以体积不变．                             
③对．  由正方体的结构特征，GB∥面ADD1A1，G、B到面ADD1A1的距离相等，即为棱长a．
三棱锥G-ADD1和三棱锥B-A1AD1中由相等的底面：S△ADD1=S△A1AD1，有相等的高a，故三棱锥G-ADD1的体积等于三棱锥B-A1AD1的体积．
④对． 正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的直径即为体对角线AC1，半径长r=AC1=，表面积S=4πr2=3πa2．
故选B