Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a．
求：
（1）二面角A-BD-A₁的正切值；
（2）AA₁与平面A₁BD所成的角的余弦值．

Answer

（1）连接AC，AC∩BD=O，连接A1O，则∠A1OA为二面角A-BD-A1的平面角；
（2）过A作AE⊥A1O，垂足为E，则AE⊥平面A1BD，从而∠AA1O为AA1与平面A1BD所成的角．
【解析】
（1）连接AC，AC∩BD=O，连接A1O，则∠A1OA为二面角A-BD-A1的平面角
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，
∴AO=a
∴tan∠A1OA=；
（2）过A作AE⊥A1O，垂足为E，
∵AE⊥BD，A1O∩BD=O，∴AE⊥平面A1BD
∴∠AA1O为AA1与平面A1BD所成的角
∵A1A=a，AO=a
∴A1O=a
∴AA1与平面A1BD所成的角的余弦值为．