Question

已知抛物线y²=4x，过焦点的弦AB被焦点分成长为m，n的两段，求证：m+n=mn．

Answer

求出抛物线的焦点F（1，0），准线x=-1，再设y=k（x-1）代入y2=4x得k2x2-2（k2+2）x+k2=0，由抛物线定义可得|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，从而可得结论．
证明：抛物线的焦点F（1，0），准线x=-1，
设y=k（x-1），把它代入y2=4x得k2x2-2（k2+2）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=1
由抛物线定义可得|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，
∴m+n=（x1+1）+（x2+1）=（x1+x2）+2，mn=（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=（x1+x2）+2
∴m+n=mn