Question

已知函数f（x）=x²-alnx在（1，2]是增函数，在（0，1）为减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）当b＞-1时，若在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．

Answer

（Ⅰ），依题意f'（x）≥0，∀x∈（1，2]恒成立，故a≤2．由，依题意，∀x∈（0，1）恒成立．故a≥2．所以a=2．由此能求出f（x）、g（x）的表达式．
（Ⅱ）由f（x）=g（x）+2知，方程．设，
则=，令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．列表分析知h（x）在x=1处有一个最小值0，由此能够证明当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．
（Ⅲ）法一：
在x∈（0，1]恒成立等价于x2-2lnx，在x∈（0，1]内恒成立等价于在x∈（0，1]内恒成立．由此能求出b的取值范围．
法二：
设，则x∈（0，1]时，=，由此能求出b的取值范围．
【解析】
（Ⅰ），
依题意f'（x）≥0，∀x∈（1，2]恒成立，
即a≤2x2，∀x∈（1，2]恒成立．
∴a≤2①…（2分）
又，依题意恒成立g'（x）≤0，∀x∈（0，1），
即，∀x∈（0，1）恒成立．
∴a≥2．②…（4分）
由①②得a=2．
∴．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）=g（x）+2知，
方程，
设，
则
=，…（7分）
令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．
列表分析：

x （0，1） 1 （1，+∞）
h'（x） - +
h（x） 递减 递增

知h（x）在x=1处有一个最小值0，…（9分）
∴当x＞0且x≠1时，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上只有一个解．
即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．        …（11分）
（Ⅲ）解法一：∵在x∈（0，1]恒成立，
∴x2-2lnx在x∈（0，1]内恒成立，
∴在在x∈（0，1]内恒成立…③…（13分）
令（x∈（0，1]），
则
∴x∈（0，1]时，m'（x）＜0，
∴m（x）在（0，1]是减函数，
∴[m（x）]min=m（1）=2
由③知2b≤[m（x）]min=2，
∴b≤1…（15分）
又b＞-1，所以：-1＜b≤1为所求范围．…（16分）
解法二：设，
则x∈（0，1]时，（13分）
=…（15分）
∴φ（x）在（0，1]为减函数，
∴φ（x）min=φ（1）=1-2b+1≥0，
∴b≤1
又b＞-1，所以：-1＜b≤1为所求范围．…（16分）