Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积V．

Answer

（Ⅰ）连接AC，证明AC⊥BD，证明PA⊥BD，PA∩AC=A，推出BD⊥平面PAC，然后证明平面PBD⊥平面PAC         
（Ⅱ）依题意得说明ABD是边长为的正三角形，然后直接求解，四棱锥P-ABCD的体积V．
【解析】
（Ⅰ）连接AC，∵BC=CD，AB=AD，
∴AC⊥BD，
又PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD
∴PA⊥BD           
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC                       
又BD⊂平面BDP
∴平面PBD⊥平面PAC         
（Ⅱ）依题意得∠CBD=∠CDB=30°，
又BC⊥AB，CD⊥AD，
所以∠DBA=∠BDA=60°
又BC=CD=a，
∴
∴△ABD是边长为a的正三角形   
∴=
=