Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：．
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：．

Answer

（1）依题意，数列{bn}的通项公式为，把已知式中的n换成n-1，两式相减求得an=n，经检验对第一项也成立，而得到数列{an}的通项公式是an=n．
（2）由（1）知，anbn=n•2n-1，故＜+++…+=1+-＜．
【解析】
（1）依题意，数列{bn}的通项公式为，
由，
可得（n≥2），
两式相减可得，即an=n．
当n=1时，a1=1，从而对一切n∈N*，都有an=n．
所以数列{an}的通项公式是an=n．
（2）证明：由（1）知，anbn=n•2n-1，
故=+++…+＜+++…+（n≥3）．
∴＜+++…+=1+=1+-＜．
即成立．