Question

已知函数f（x）=x²-2alnx，．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥g'（x）对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求导函数，再进行分类讨论：a≤0，a＞0时，利用f'（x）＞0确定函数f（x）的单调增区间；f'（x）＜0确定函数f（x）的单调减区间；
（2）求导函数g'（x）=x2-2x，从而f（x）≥g'（x）即alnx-x≤0，进一步转化为在（1，+∞）上恒成立，利用导数可求右边函数的最小值，从而确定实数a的取值范围．
【解析】
（1），…（2分）
当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＞0时，令f′（x）＞0得，∴f（x）在上为增函数；
令f′（x）＜0得，∴f（x）在上为增函数，
综上：当a≤0时，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；
当a＞0时，f（x）的增区间为，减区间为．…（6分）
（2）∵g′（x）=x2-2x，∴f（x）≥g′（x）即alnx-x≤0，
由题意，在（1，+∞）上恒成立，…（8分）
令，则，
令h′（x）＞0得x＞e，∴h（x）在（e，+∞）上为增函数；
令h′（x）＜0得0＜x＜e，∴h（x）在（0，e）上为减函数；
故在x=e取最小值，∴a≤h（e）=e，∴a≤e．…（12分）
（或令h（x）=alnx-x，即h（x）max≤0，分类讨论即可）