Question

已知函数g（x）=ax³+bx²+cx（a∈R且a≠0），g（-1）=0，则g（x）的导函数f（x）满足f（0）f（1）≤0．设x₁，x₂为方程f（x）=0的两根．
（1）求的取值范围；
（2）若当|x₁-x₂|最小时，g（x）的极大值比极小值大，求g（x）的解析式．

Answer

（1）由题意可得b-a-c=0，函数f（x）=3ax2+2bx+c，且f（0）f（1）=c•（3a+2b+c）≤0，化简可得3--2≤0，由此求得 的取值范围．
（2）化简|x1-x2|的解析式为，故a=b时，取最小值，即|x1-x2|取最小值，此时，g（x）=ax3+ax2f（x）=3ax2+2ax．分a＞0和a＜0两种情况分别求出极大值和极小值，根据g（x）的极大值比极小值大，求g（x）的解析式．x1+x2
【解析】
（1）由题意可得b-a-c=0，函数f（x）=3ax2+2bx+c，且f（0）f（1）=c•（3a+2b+c）≤0．
化简可得 3b2-ab-2a2≤0．
∵a≠0，∴3--2≤0． 解得-≤≤1，故 的取值范围是． …（4分）
（2）∵=-4x1•x2=-4（）= +，
∵，故当 ，即a=b时，取最小值，即|x1-x2|取最小值．…（7分）
此时，g（x）=ax3+ax2f（x）=3ax2+2ax．
当a＞0时  f（x）在 上是增函数，在 上是减函数，在（0，+∞） 上是增函数．
g（x）的极大值为，极小值为g（0）=0．
由题意，a=9，此时g（x）=9x3+9x2．…（10分）
当a＜0时，f（x）在 在 上是减函数，在 上是增函数，在（0，+∞） 上是减函数．
g（x）的极大值为g（0）=0，极小值为．
由题意 ，a=-9，此时g（x）=-9x3-9x2．…（13分）