Question

如果关于实数x的方程的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为    ．

Answer

由函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），故我们可将关于x的方程 有且仅有一个正实数解，转化为“双曲线 y1=1x与y2=3x-ax2的图象在y轴右侧只有一个交点”．对参数的取值范围进行讨论，求出实数a的取值范围
【解析】
将方程改写为，令，y2=3x-ax2．
“关于实数x的方程的所有解中，仅有一个正数解”等价于“双曲线与y2=3x-ax2的图象在y轴右侧只有一个交点”．
双曲线在第一、三象限内．
当a＞0时，抛物线y2=3x-ax2的开口向下且过原点（0，0）及x轴正半轴上的点，研究知，当a＜2时，双曲线与抛物线y2=3x-ax2在第一象限内有两个交点，当a＞2时，两曲线在第一象限无交点，当a=2进，两曲线仅有一个交点，故a=2符合题意．
当a=0时，y2=3x-ax2=3x为直线，此时，双曲线与直线y2=3x在第一象限内只有一个交点，故a=0符合题意．
当a＜0时，抛物线y2=3x-ax2的开口向上且过原点（0，0）及x轴负半轴上的点，此时，双曲线与抛物线y2=3x-ax2在第一象限内仅有一个交点，故a＜0符合题意．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪{2}．
故答案为：（-∞，0]∪{2}．