Question

如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B为焦点的椭圆经过点C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点E（0，1），问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据题意，确定CA+CB=8，从而可确定椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；
（2）将直线l：y=kx+m与椭圆联立，利用|ME|=|NE|，取MN中点F，利用kEF•k=-1及判别式，即可得出直线l的斜率的取值范围．
【解析】
（1）∵AB=4，BC=3，AD⊥AB，AD∥BC
∴AC=5
∴CA+CB=8＞AB=4
∴a=4
∵c=2，∴b2=12
∴椭圆的标准方程为
（2）设直线l：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）
将直线l：y=kx+m与椭圆联立可得，消去y得
∴
①
，
设MN中点F（x，y），，
∵|ME|=|NE|，∴EF⊥MN，∴kEF•k=-1，∴，
∴m=-（4k2+3）
代入①可得：16k2+12＞（4k2+3）2
∴16k4+8k2-3＜0
∴
∴