Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程的两根，且a₁=1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若b_n-mS_n＞0对任意的n∈N^*都成立，求m的取值范围．

Answer

（1）由韦达定理可得an+an+1=2n，从而利用等比数例的定义即可证得数列是等比数列；
（2）由（1）可求得an=[2n-（-1）n]，利用分组求和的方法即可求得数列{an}的前n项和Sn；
（3）由韦达定理可得an•an+1=bn，而an=[2n-（-1）n]，从而可求得bn，结合bn-mSn＞0对任意的n∈N*都成立，分n为奇数与偶数讨论即可求得m的取值范围．
【解析】
（1）∵an+an+1=2n，
∴an+1-•2n+1
=（2n-an）-•2n+1
=-an+2n（1-）
=
∴=-1，
∴{an-•2n}是等比数列，
又a1-=，q=-1
∴an=[2n-（-1）n]．
（2）Sn=a1+a2+…+an
=[（2+22+…+2n）-（（-1）+（-1）2+…+（-1）n）]

（3）∵an，an+1是关于x的方程的两根，
∴bn=an•an+1，bn=[2n-（-1）n][2n+1-（-1）n+1]
=[2n+1-（-2）n-1]
∵bn-msn＞0，
∴，
当n为奇数时，
[22n+1+2n-1]-（2n+1-1）＞0，
∴m＜（2n+1）对∀n∈{奇数}都成立，
∴m＜1．
当n为偶数时，
[22n+1-2n-1]-（2n+1-2）＞0，
[22n+1-2n-1]-（2n-1）＞0，
∴m＜（2n+1+1）对∀n∈{偶数}都成立，
∴m＜．
综上所述，m的取值范围为m＜1．