Question

已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足：，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．

Answer

由已知，三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为的球面上，且满足：，则在P点处PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥P-ABC的侧面积的最大值．
【解析】
∵，
∴PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．
∴4=PA2+PB2+PC2，
则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•PC，PB2+PC2≥2PB•PC，
即4=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
则三棱锥P-ABC的侧面积S=（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤2，
则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为2，
故选A