Question

点P在直径为4的球面上，过P作两两垂直的三条弦PA，PB，PC，用S₁、S₂、S₃分别表示△PBC、△PCA、△PAB的面积，则S₁+S₂+S₃的最大值是    ．

Answer

根据PB，PC，PA两两垂直，补形成长方体，根据长方体对角线性质，球的直径为长方体的对角线，再利用基本不等式，即可求得S1+S2+S3的最大值．
【解析】
设PB=b，PC=c，PA=a，PB，PC，PA两两垂直，补形成长方体，根据长方体对角线性质，有42=a2+b2+c2．
∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，
又，当且仅当a=b=c取等号．
∴S1+S2+S3的最大值是8．
故答案为：8