Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点．求证：
（1）BD₁∥平面EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB₁C．

Answer

（1）连接BD，交AC于O．连接EO，BD1．根据中位线可知BD1∥OE，又OE⊂平面EAC，BD1⊂平面EAC，根据线面平行的判定定理可知BD1∥平面EAC；
（2）根据BB1⊥AC，BD⊥AC，BB1∩BD=B，满足线面垂直的判定定理，则AC⊥平面BB1D1D，又BD1⊂平面BB1D1D则BD1⊥AC，同理BD1⊥AB1，从而BD1⊥平面AB1C．根据（1）可得BD1∥OE，从而EO⊥平面AB1C，又EO⊂平面EAC，根据面面垂直的判定定理可知平面EAC⊥平面AB1C．
证明：（1）连接BD，交AC于O．连接EO，BD1．（2分）
因为E为DD1的中点，所以BD1∥OE．（5分）
又OE⊂平面EAC，BD1⊂平面EAC，
所以BD1∥平面EAC；（7分）
（2）∵BB1⊥AC，BD⊥AC．BB1∩BD=B，BB1、BD在面BB1D1D 内
∴AC⊥平面BB1D1D
又BD1⊂平面BB1D1D∴BD1⊥AC．（10分）
同理BD1⊥AB1，∴BD1⊥平面AB1C．（12分）
由（1）得BD1∥OE，∴EO⊥平面AB1C．
又EO⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面AB1C．（14分）