Question

某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：P=（其中c为小于6的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

Answer

（1）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1-P）×2-日产量（x）×次品率（P）×1，根据分段函数分段研究，整理即可；
（2）利用函数的导数得出单调性，再求函数的最大值．
【解析】
（1）当x＞c时，P=，
∴T=x•2-x•1=0
当1≤x≤c时，，
∴=
综上，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关系为：

（2）由（1）知，当x＞c时，每天的盈利额为0
当1≤x≤c时，T==15-2[（6-x）+]≤15-12=3
当且仅当x=3时取等号
所以①当3≤c≤6时，Tmax=3，，此时x=3
②当1≤c≤3时，由T′==知
函数T=在[1，3]上递增，Tmax=，此时x=c
综上，若3≤c≤6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若1≤c≤3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润