Question

已知二次函数f（x）=mx²-2x+m其中实数m为常数．
（1）求m的值，使函数f（x）的图象在x=0处的切线l与圆C：x²+y²-4x-2y=0也相切．
（2）当m＞0时，求关于x的不等式f（x）≤0的解集M．

Answer

（1）先对函数求导，根据导数的几何意义可求函数在x=0处的切线的斜率f'（0）=-2，求出切线方程，由切线l与圆C：（x-2）2+（y-1）2=5相切，可得圆心到直线L的距离等于半径可求m
（2）当m＞0时，关于x的不等式f（x）≤0，即mx2-2x+m≤0，△=4-4m2，要求解不等式，根据二次不等式的求解，需要讨论①当△＞0②当△=0，③当△＜0，三种情况求解集合M
【解析】
（1）f（x）=mx2-2x+m，f（0）=m，f'（x）=2mx-2，f'（0）=-2．
则切线l的方程为y-m=-2x，即2x+y-m=0．
因为切线l与圆C：（x-2）2+（y-1）2=5相切，所以，即|m-5|=5
又m≠0．故m=10
（2）当m＞0时，关于x的不等式f（x）≤0，即mx2-2x+m≤0，△=4-4m2
①当△＞0，即0＜m＜1时，关于x的方程f（x）=0有两个不相等的实数解，
则；
②当△=0，即m=1时，关于x的方程f（x）=0有两个相等的实数解x=1则M={1}；
③当△＜0，即m＞1时，关于x的方程f（x）=0没有实数解，则M=∅．