Question

如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙OD的直径AB=2，点C在上，且∠CAB=30°，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥平面POD；
（Ⅱ）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．

Answer

（I）由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，根据直线与平面垂直的判定定理可证
（II）由（I）可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC，∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可
解（I）因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD
（II）由（I）知，AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC
连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角
在Rt△ODA中，OD=DA．sin30°=
在Rt△POD中，OH=
在Rt△OHC中，
故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为