Question

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，11）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间
（Ⅲ）求函数在[-2，2]上的最值．

Answer

（Ⅰ）因为f'（x）=-3x2+6x+9，所以切线的斜率为f'（1）=12，由此能求出切线方程．
（Ⅱ）令f'（x）=-3x2+6x+9＞0，得函数f（x）的单调增区间；令f'（x）=-3x2+6x+9＜0，得函数f（x）的单调减区间．
（Ⅲ）因为在（-2，-1）上f'（x）＜0，在（-1，2）上f'（x）＞0，所以f（x）在（-2，-1）单调递减，在（-1，2）上单调递增．由此能求出函数在[-2，2]上的最值．
【解析】
（Ⅰ）因为f'（x）=-3x2+6x+9，
所以切线的斜率为f'（1）=-3+6+9=12
所以切线方程y-11=12（x-1），
即12x-y-1=0．
（Ⅱ）令f'（x）=-3x2+6x+9＞0，
得-1＜x＜3，
所以函数f（x）的单调增区间为（-1，3）；
令f'（x）=-3x2+6x+9＜0，
得x＜-1或x＞3，
所以函数f（x）的单调减区间为（-∞，-1）和（3，+∞）．
（Ⅲ）因为在（-2，-1）上，f'（x）＜0，在（-1，2）上，f'（x）＞0，
所以f（x）在（-2，-1）单调递减，
在（-1，2）上单调递增．
所以x=-1时，[f（x）]min=f（-1）=-5．
当x=2时，[f（x）]max=22．