Question

已知函数，且f（1）=2，
（1）求a、b的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．

Answer

（1）依题意有，联立方程可求a，b
（2）先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后检验f（-x）与f（x）的关系即可
（3）设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2…，然后通过作差，变形比较f（x1），f（x2）的大小即可判断函数的单调性
【解析】
（1）依题意有，…（2分）    
 得…（4分）
（2）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，…（5分）
∵
∴函数f（x）为奇函数．             …（7分）
（3）f（x）在（1，+∞）上是增函数，证明如下
设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2…（8分）

∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0…（12分）
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）…（13分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．    …（14分）