Question

设{a_n}是公比q＞1的等比数列，Sn为其前n项和，s₃=7，a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=n+lna_3n+1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和Tn．

Answer

（1）由题意s3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求出首项和公比，从而求得数列{an}的通项公式．
（2）化简bn为 n（3ln2+1），可得数列{bn}是以 3ln2+1为首项，以 3ln2+1为公差的等差数列，根据等差数列的前n项和公式求出数列{bn}的前n项和Tn 的值．
【解析】
（1）由题意s3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得 ，解得 ，或 ．
再由公比q＞1可得，∴an=2n-1 （n∈N*）．
（2）由于数列{bn}满足bn=n+lna3n+1（n∈N*），即bn=n+ln23n=n（3ln2+1），∴bn+1 =（n+1）（3ln2+1），
∴bn+1-bn=3ln2+1 为常数，故数列{bn}是以 3ln2+1为首项，以 3ln2+1为公差的等差数列．
∴数列{bn}的前n项和Tn== （n2+n）．