Question

已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（I）用a表示出b，c；
（II）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer

（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；
（II）先构造函数g（x）=f（x）-lnx=ax++1-2a-lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．
y【解析】
（Ⅰ），
则有，
解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
令g（x）=f（x）-lnx=ax++1-2a-lnx，x∈[1，+∞）
则g（l）=0，
（i）当，
若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，
所以g（x）＜g（l）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒不成立．
（ii）时，
若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx
综上所述，所求a的取值范围为