Question

已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．
①当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
②过点R（2，1）作直线l与轨迹C交于A，B两点，使得R恰好为弦AB的中点，求直线l的方程．

Answer

①设点M（x，y），由，得，，由，得，所以y2=4x．由此能求出点M的轨迹C．
②方法一：
设直线l：y=k（x-2）+1，其中k≠0，代入y2=4x，整理得k2x2-（4k2-2k+4）x+（2k-1）2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由，解得：k=2．由此能求出直线l的方程为．
方法二：
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减 得：．因为R（2，1）为弦AB的中点，所以y1+y2=2，由此能求出直线l的方程．
【解析】
①设点M（x，y），由，得，，
由，得，所以y2=4x．
又点Q在x轴的正半轴上，得x＞0．
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．
②方法一：设直线l：y=k（x-2）+1，其中k≠0，代入y2=4x，
整理得k2x2-（4k2-2k+4）x+（2k-1）2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
由，解得：k=2．
所以，直线l的方程为y=2（x-2）+1，
即：y=2x-3．
方法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
两式相减 得：．
整理得：，
因为R（2，1）为弦AB的中点，
所以y1+y2=2，
代入上式得，即kAB=2．
所以，直线l的方程为y=2（x-2）+1，
即：y=2x-3