Question

设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点是F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点P使得直线PF₁与直线PF₂垂直．
①求椭圆离心率e的取值范围；
②若直线PF₁与椭圆另一个交点为Q，当，且△PQF₂的面积为12时，求椭圆方程．

Answer

①根据椭圆上存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|=c≥b，从而可求椭圆离心率e的取值范围；
②设出直线方程与椭圆方程，并联立，利用韦达定理、点到直线的距离公式，结合△PQF2的面积为12时，即可求出椭圆方程．
【解析】
①由△F1PF2是直角三角形知，|OP|=c≥b，即c2≥a2-c2，故
②设椭圆方程为，由 得：a2=2c2，b2=c2，于是椭圆方程可化为：x2+2y2-2c2=0①
直线PQ的斜率k=1，设直线PQ的方程为：y=x+c②，
把①代入②，得：x2+2（x+c）2-2c2=0，
整理得：3x2+4cx=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1、x2是上述方程的两根，且，．
点F2到PQ直线的距离为，
所以：==12  得：c2=9=b2，a2=18．
所以所求椭圆方程为：．