Question

已知数列{a_n}满足（n∈N^*），数列{b_n}前n项和，数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）根据前n项和与第n项的关系求出数列{bn}的通项公式，再由{an}满足（n∈N*），求出数列{an}的
通项公式．
（2）先求出数列{cn}的通项公式，再利用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn ．
（3）先判断数列{cn}的单调性，可得其最大值，要使对一切正整数n恒成立，只要数列{cn}的最大值小于或等于即可，由此求得实数m的取值范围．
【解析】
（1）由已知得，当n≥2时，，
又b1=1=3×1-2，符合上式．故数列{bn}的通项公式bn=3n-2．
又∵，
∴，
故数列{an}的通项公式为．
（2），
①，
②，
①-②得 
==，
∴．
（3）∵，
∴=，
当n=1时，cn+1=cn；当n≥2时，cn+1≤cn，∴．
若对一切正整数n恒成立，则只要即可，（m+5）（m-1）≥0，
解得 m≤-5，或m≥1，
故实数m的取值范围为（-∞，-5]∪[1，+∞）．