Question

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N）满足a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1=，且点P₁的坐标为（1，-1）．
（Ⅰ）求经过点P₁，P₂的直线l的方程；
（Ⅱ） 已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N）在P₁，P₂两点确定的直线l上，求数列{a_n}通项公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥k成立的最大实数k的值．

Answer

（Ⅰ）先求出a2 和b2 的值，即可得到P2 的坐标，用两点式求得过点P1，P2的直线l的方程．
（Ⅱ）把已知点Pn的坐标代入直线l的方程可得 2an+bn=1，化简可得-=2，故{}是公差等于2的等差数列，由此求得数列{an}通项公式．
（Ⅲ）由上可得 bn=1-2an=．依题意 k≤（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an） 恒成立．设F（n）=（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an），利用单调性求得F（n）min=F（1），故 k≤F（1），运算求得结果．
【解析】
（Ⅰ）因为 =，所以a2=a1b2=．所以P2（ ，）．
所以过点P1，P2的直线l的方程为 2x+y=1．
（Ⅱ）∵已知点Pn（an，bn）（n∈N）在P1，P2两点确定的直线l上，
∴2an+bn=1．
由an+1=anbn+1 可得 an+1=an（1-2an+1），
∴=，即-=2，故{}是公差等于2的等差数列．
所以=1+2（n-1）=2n-1，所以an=．
（Ⅲ）由上可得 bn=1-2an=．依题意 k≤（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an） 恒成立．
设F（n）=（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an），所以只需求满足 k≤F（n）的F（n）的最小值．
∵==（1+an+1）==＞1，
所以F（n） （x∈N*）为增函数．
所以F（n）min=F（1）==．
所以 k≤．
所以kmax=．