Question

一个多面体的直观图及三视图分别如图1和图2所示（其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图是直角三角形），M、N分别是AB₁、A₁C₁的中点，MN⊥AB₁．


（Ⅰ）求实数a的值并证明MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）在上面结论下，求平面AB₁C₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）根据题意，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，证明与平面BCC1B1的法向量垂直，即可证得MN∥平面BCC1B1；
（Ⅱ） 平面ABC的法向量，求出平面AB1C1的法向量，从而可得，即可得到平面AB1C1与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）由图可知，ABC-A1B1C1为直三棱柱，侧棱CC1=a，底面为直角三角形，AC⊥BC，AC=3，BC=4
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
因为MN⊥AB1，所以
解得：a=4…（3分）
此时，，平面BCC1B1的法向量
∴
∴与平面BCC1B1的法向量垂直，且MN⊄平面BCC1B1
∴MN∥平面BCC1B1…（6分）
（Ⅱ） 平面ABC的法向量，设平面AB1C1的法向量为，平面AB1C1与平面ABC所成锐二面角的大小等于其法向量所成锐角θ的大小，法向量满足：
因为A（3，0，0），C1（0，0，4），B1（0，4，4），
所以，
所以，，
所以，
所以平面AB1C1与平面ABC所成锐二面角的余弦值为…（13分）