Question

四面体ABCD中，，∠ABD=30°，∠ABC=60°，则AB与CD所成角为    ．

Answer

根据题意画出相应的图形，如图所示，在三角形ABD中，过A作AE垂直于BD，交BD于点E，连接CE并延长，使EF=EC，连接BF，DF，AF，可得出∠ABF为AB与CD所成角，求法为：在三角形ABE中，由30°所对的直角边等于斜边的一半，根据AB的长求出AE的长，进而利用勾股定理求出BE的长，发现BE为BD的一半，即E为BD的中点，又BC=DC，CE为BD上的中线，根据三线合一得到CE垂直于BD，根据AE垂直于面BCDF，可得出AE垂直于EF，再由EF=CE，BE=DE，得到四边形BCDF为平行四边形，再由邻边BC=DC，可得出四边形BCDF为菱形，得出BF=BC，由BC的长，得出BF的长，在直角三角形AEF中，由EF及AE的长，利用勾股定理求出AF的长，在三角形ABF中，利用余弦定理表示出cos∠ABF，将三边长代入求出cos∠ABF的值，由∠ABF的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出∠ABF的度数，即为AB与CD所成角的度数．
【解析】
根据题意画出相应的图形，如图所示：
在△ABD中，过A作AE⊥BD，交BD于点E，连接CE，并延长使EF=EC，连接BF，DF，AF，
在△ABE中，∠ABD=30°，AB=2，
∴AE=AB=1，根据勾股定理得到BE=，
又BD=2，∴E为BD的中点，
∵BC=DC=3，∴CF⊥BD，又AE⊥BD，
∴BD⊥面ACF，又面ABD与面ACF交于直线BD，
∴AE⊥面BCD，
∴AE⊥CF，
∵CE=EF，BE=DE，
∴四边形BCDF为平行四边形，又BC=DC，
∴四边形BCDF为菱形，
∴BF=BC=CD=DF=3，
在Rt△BCE中，BC=3，BE=，
根据勾股定理得：CE==，
∴EF=CE=，又AE=1，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AF=，
在△ABF中，AB=2，BF=3，AF=，
∴由余弦定理得：cos∠ABF==，
又0＜∠ABF≤90°，∴∠ABF=60°，
则AB与CD所成角为60°．
故答案为：60°