Question

若函数f（x）在定义域R内可导，f（2+x）=f（2-x），且当x∈（-∞，2）时，（x-2）f'（x）＞0．设a=f（1），，c=f（4），则a，b，c的大小为    ．

Answer

由f（2+x）=f（2-x），知函数f（x）的对称轴为x=2，故a=f（1）=f（3），所以c=f（4），．由由x∈（-∞，2）时，（x-2）f′（x）＞0，知f′（x）＜0，即f（x）在（-∞，2）上是减函数，所以f（x）在（2，+∞）上是增函数，由此能够判断，b，c的大小．
【解析】
∵f（2+x）=f（2-x），
∴函数f（x）的对称轴为x=2，
故a=f（1）=f（3），
c=f（4），．
又由x∈（-∞，2）时，（x-2）f′（x）＞0，
∴f′（x）＜0，即f（x）在（-∞，2）上是减函数，
所以f（x）在（2，+∞）上是增函数，
于是f（4）＞f（3）＞f（），即c＞a＞b．
故答案为：c＞a＞b．