Question

国营二三八厂打算在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2010年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍，（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．
（1）将该厂家2010年该厂产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家所获利润最大？

Answer

（1）由题意可知当t=0时，x=1由满足，即可得出k值，从而得出每件产品的销售价格，从而得出2010年的利润的表达式即可；
（2）对于（1）中求得的解析式，根据其中两项之积为定值结合利用基本不等式此函数的最大值及相应的x值，从而解决该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
【解析】
（1）由题意可知当t=0时，x=1（万件），
∴1=4-k⇒k=3．（2分）
∴．
每件产品的销售价格为1.5×（元），（4分）
∴2010年的利润y=x•（1.5×）-（6+12x+t）（6分）
=3-t+6x=27-t-（t≥0）．（8分）
（2）∵t≥0时，2t+1≥1，令2t+1=m，则m≥1（12分）
∴2010年的利润y=27.5-≤27.5-6=21.5，当且仅当m=6（万元）时，
ymax=21.5（万元）．（15分）
所以当该厂家2010年的促销费用投入6万元时，厂家的利润最大．（15分）