Question

已知a＞0，函数f（x）=lnx-ax²，x＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），证明．

Answer

（I）由，令f′（x）=0，解得x=，列表讨论能求出f（x）的单调递增区间和单调递减区间．
（II）由f（α）=f（β）及（I）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．由此能够证明．
（I）【解析】
，
令f′（x）=0，解得x=，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x
f'（x） + -
f（x） ↑ 极大值 ↓

所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．
（II）证明：由f（α）=f（β）及（I）的结论知，
从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，
知1≤α≤2≤β≤3．
故，
即，
从而．