已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值...

已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设函数 manfen5.com 满分网

，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．

（1）由已知中函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）-x=在（，+∞）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值范围．【解析】（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数 ∴f（-x）=log2（4-x+1）-kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立即log2（4x+1）-2x-kx=log2（4x+1）+kx恒成立解得k=-1 （2）∵a＞0 ∴函数的定义域为（，+∞）即满足函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点， ∴方程log2（4x+1）-x=在（，+∞）有且只有一解即：方程在上只有一解令2x=t，则，因而等价于关于t的方程（*）在上只有一解当a=1时，解得，不合题意；当0＜a＜1时，记，其图象的对称轴 ∴函数在（0，+∞）上递减，而h（0）=-1 ∴方程（*）在无解当a＞1时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立 ∴此时a的范围为a＞1 综上所述，所求a的取值范围为a＞1．

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考点分析：

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