Question

数列{a_n}，{b_n}（n=1，2，3，…）由下列条件确定：①a₁＜0，b₁＞0；②当k≥2时，a_k与b_k满足：a_k-1+b_k-1≥0时，a_k=a_k-1，b_k=；当a_k-1+b_k-1＜0时，a_k=，b_k=b_k-1．
（Ⅰ）若a₁=-1，b₁=1，，求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式（不需要证明）；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，若b₁＞b₂＞…b_s（s≥3，且s∈N^*），试用a₁，b₁表示b_k，k∈{1，2，…，s}；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列{c_n}（n∈N^*）满足c₁=，c_n≠0，c_n+1=- （其中m为给定的不小于2的整数），求证：当n≤m时，恒有c_n＜1．

Answer

（Ⅰ）利用题中的条件，分别令n=1，2，3，4，根据数列的前三项，猜想{an}的解析式．
（Ⅱ）用反证法证明 ak-1+bk-1≥0，由此推出 bk-ak= 成立，可得{bk-ak}是首项为b1-a1，公比为的等比数列，写出{bk-ak}的通项公式，可得bk ．
（Ⅲ）由题意得cn+1-cn=＞0，由此推出＞-，进而得到cn ＜＜1．
（Ⅰ）【解析】
因为a1+b1=0，所以 a2=a1=-1，b2==0．…（1分）
因为a2+b2=-1＜0，则 a3==-，b3=b2=0．…（2分）
a4===-．…（3分）
猜想当n≥2时，an=a2•=-．
则 an=．   …（4分）
（Ⅱ）【解析】
当 2≤k≤s时，假设ak-1+bk-1＜0，根据已知条件则有 bk=bk-1，
与 b1＞b2＞…＞bs矛盾，因此 ak-1+bk-1＜0不成立，…（5分）

所以有ak-1+bk-1≥0，从而有 ak=ak-1，所以ak=a1．…（6分）

当ak-1+bk-1≥0时，ak=ak-1，，
所以 bk-ak=-ak-1=； …（8分）

当 2≤k≤s时，总有 bk-ak= 成立．
又 b1-a1≠0，
所以{bk-ak}（k=1，2，3…s）是首项为b1-a1，公比为的等比数列，…（9分）
bk-ak =（b1-a1） ，k=1，2，3…s，
又因为 ak=a1，所以bk=（b1-a1） +a1 ，．…（10分）
（Ⅲ）证明：由题意得 =+cn．
因为 cn+1=+cn，所以 cn+1-cn=＞0．
所以数列{cn}是单调递增数列．…（11分）
因此要证 cn＜1 （n≤m），只须证 cm＜1．
由m≥2，则 cn+1═+cn＜cncn+1+cn，即 ＞-．…（12分）
因此 =（-）+（-）+（-）+…+（-）+ 
＞+2=．
所以，cn ＜＜1．
故当n≤m，恒有 cn ＜1．…（14分）