Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，PB=PC，AB=1，，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）求证：AC⊥平面PAB；
（2）当时，求二面角F-AE-C的大小．

Answer

（1）证明AC⊥平面PAB，根据线面线面垂直的判定定理，即证明AC⊥AB，PA⊥AC，
（2）解法1：分别取AC中点N和AE中点M，连接FN，FM和MN，可证∠FMN为二面角F-AE-C的平面角，在Rt△FMN中，即可求二面角F-AE-C的大小；
解法2：建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面PCD的一个法向量与平面ABCD的一个法向量，利用，确定PA的长，求出平面FAE的一个法向量，利用AP是平面AEC的一个法向量，即可求得二面角F-AE-C的大小．
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PB的射影是AB，PC的射影是AC，
∵PB=PC，∴AB=AC
∴AB=AC=1，且，
∴△ABC是直角三角形，且，…（3分）
∴AC⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD
∴PA⊥AB，
∵PA∩AC=A，
∴AC⊥平面PAB…（6分）
（2）解法1：由（1）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴PA⊥AC，又，故在Rt△PAC中，AC=1，∴，PC=2，
从而，
又在Rt△ABC中，，
在等腰三角形△FAE，分别取AC中点N和AE中点M，连接FN，FM和MN，
∴中位线FN∥PA，且PA⊥平面ABCD，
∴FN⊥平面ABCD，
在△AEF中，中线FM⊥AE，由三垂线定理知，MN⊥AE，∠FMN为二面角F-AE-C的平面角，
在Rt△FMN中，，，，，
∴二面角F-AE-C的大小为．
解法2：由（Ⅰ）知，以点A为坐标原点，以AB、AC、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA=λ，∵在Rt△PAC中，，∴，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），，D（-1，1，0），，，
则，，
设平面FAE的一个法向量为，
则由得，取．
又是平面AEC的一个法向量，设二面角F-AE-C的平面角为θ，则，
∴，∴
∴二面角F-AE-C的大小为．…（12分）