Question

已知离心率为的椭圆上的点到左焦点F的最长距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，求椭圆的“左特征点”M的坐标．

Answer

（1）利用椭圆离心率为，其上的点到左焦点F的最长距离为，可建立方程组，即可求得椭圆的方程；
（2）设M（m，0）为椭圆的左特征点，根据椭圆左焦点，设直线AB方程代入椭圆方程，由∠AMB被x轴平分，kAM+kBM=0，利用韦达定理，即可求得结论．
【解析】
（1）由题意知，∴a=2，c=，∴
∴椭圆的方程为；
（2）设M（m，0）为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点F（-，0），
可设直线AB的方程为x=ky-（k≠0）
代入，得：（ky-）y2+4y2=4，即（k2+4）y2-ky-1=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）得y1+y2=，y1y2=-
∵∠AMB被x轴平分，kAM+kBM=0，即，
即y1（ky2-）+y2（ky1-）-（y1+y2）m=0
所以，2ky1y2-（y1+y2）（m+）=0
于是，2k×（）-×（m+）=0
∵k≠0，∴1+（m+）=0，即m=，∴M（，0）