Question

如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.

(Ⅰ)求证：平面平面；

(Ⅱ)求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；

【解析】

试题分析：（Ⅰ）主要利用线线垂直、线面垂直可证面面垂直；（Ⅱ）通过作平行线转化到三角形内解角；当然也可建系利用空间向量来解.

试题解析：(Ⅰ)∵底面，且底面， ∴         1分

由，可得                                        2分

又∵ ，∴平面                             

注意到平面， ∴                                  3分

∵,为中点，∴                                 4分

∵， 平面                                   5分

而平面，∴                         6分

 (Ⅱ)如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系.

则 8分

     10分

设平面的法向量.

则 

解得         12分

取平面的法向量为  则，

故平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值为.     14分

考点：立体几何面面垂直的证明；二面角.