Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若（a₂-1）³+2012（a₂-1）=1，a₂₀₁₁-1）³+2012（a₂₀₁₁-1）=-1，则下列四个命题中真命题的序号为    ．①S₂₀₁₁=2011； ②S₂₀₁₂=2012； ③a₂₀₁₁＜a₂；   ④S₂₀₁₁＜S₂．

Answer

根据等式，构造函数，求导函数，可知函数是单调递增的，再利用函数的单调性即等差数列的求和公式，即可得到结论．
【解析】
根据（a2-1）3+2012（a2-1）=1，（a2011-1）3+2012（a2011-1）=-1，
构造函数f（x）=x3+x，由于函数f（x）=x3+x是奇函数，由条件有f（a2-1）=1，f（a2011-1）=-1，
求导函数可得：f′（x）=3x2+1＞0，所以函数f（x）=x3+x是单调递增的，而f（1）=2＞1=f（a2-1），即a2-1＜1，解得a2＜2
∵f（a2-1）=1，f（a2011-1）=-1，
∴a2-1＞a2011-1，a2-1=-（a2011-1）
，∴a2＞0＞a2011，a2+a2011=2，
∴S2012==2012；
又S2011=S2012-a2012=2012-（2-a2+d）=2010+a1＞a1+a2=S2，
综上知，S2012=2012； a2011＜a2； 
故真命题为：②③
故答案为：②③