已知等差数列{an}中，a3+a7＜2a6且a3，a7是方程x2-18x+65=...

已知等差数列{a_n}中，a₃+a₇＜2a₆且a₃，a₇是方程x²-18x+65=0的两根，数列{b_n}的前项和S_n=1-b_n．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项的和T_n，并证明 manfen5.com 满分网

．

（1）先判断数列{an}是递增数列，可得a3＜a7．利用a3，a7是方程x2-18x+65=0的两根，即可求得公差，从而可求数列{an}的通项公式；由Sn=1-bn得，当n=1时，，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1，即可求数列{bn}的通项公式；（2）由（1）得，，利用错位相减法求和，即可证得．（1）【解析】由a3+a7=2a5＜2a6得a5＜a6，所以数列{an}是递增数列．…（1分）所以a3＜a7．由x2-18x+65=0解得a3=5，a7=13…（2分）公差，所以an=a3+（n-3）d=2n-1（n∈N*）…（3分）由Sn=1-bn得，当n=1时，；…（4分）当n≥2时，bn=Sn-Sn-1，得…（5分）所以{bn}是首项为，公比为的等比数列，所以…（6分）（2）证明：由（1）得，…（7分）所以由错位相减法得…（9分）因为所以{Tn}是递增数列，所以故…（13分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等