Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长是2，D是棱BC的中点，点M在棱BB₁上，且BM=B₁M，又CM⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-ADC₁体积．

Answer

（Ⅰ）证明A1B∥平面AC1D，只需证明DE∥A1B，利用三角形的中位线的性质可证；
（Ⅱ）先证明∠CDC1与∠MCB互余，利用BM=B1M，底面边长是2，求AA1的长，利用三棱锥B1-ADC1体积等于三棱锥A-B1DC1体积，即可求得结论．
（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点E，连接DE，则DE是△A1BC的中位线，
∴DE∥A1B，又DE⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，
∴A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）【解析】
在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱BC的中点，则AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥MC，
∵CM⊥AC1，AC1∩AD=A
∴CM⊥平面AC1D
∴CM⊥C1D，∴∠CDC1与∠MCB互余
∴tan∠CDC1与tan∠MCB互为倒数
∵BM=B1M，底面边长是2
∴AA1=2
连接B1D，则S△B1C1D=2
∵AD⊥平面DC1B1，AD=
∴三棱锥B1-ADC1体积等于三棱锥A-B1DC1体积=×2×=