Question

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

Answer

（Ⅰ）设摩天轮上总共有n个座位，则即，由此能写出y关于x的函数关系式，并写出定义域．
（Ⅱ）当k=100时，0＜x≤25，令，则．由此当k=100米时，能确定座位的个数，使得总造价最低．
【解析】
（Ⅰ）设摩天轮上总共有n个座位，
则，即，
∴，
定义域；
（Ⅱ）当k=100时，0＜x≤25，
令，
则，
∴，
∴，
当时，f'（x）＜0，即f（x）在上单调减，
当时，f'（x）＞0，即f（x）在上单调增，
∴ymin在时取到，此时座位个数为个．