Question

已知P_n是把P_n-1P_n+1线段作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1，的长度分别为
a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（1）写出a₂，a₃和a_n的表达式；
（2）证明a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）设点M_n（n，a_n），在这些点中是否存在两个点同时在函数）的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）由于Pn是把Pn-1Pn+1线段作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，所以知Pn-1Pn=（n-1）PnPn-1，从而可得，进而利用叠乘即可求出a2，a3和an的表达式；
 （2）对通项进行放缩，再求和，利用等比数列的求和公式即可证明；
（3）假设存在，即可得，再证明数列的单调减即可．
【解析】
（1）由已知Pn-1Pn=（n-1）PnPn-1
令n=2，P1P2=P2P3，∴a2=1，同理
∴
（2）∵
∴a1+a2+a3+…+an
而n=1时，结论成立，故a1+a2+a3+…+an＜3；
（3）假设有两个点A（p，ap），B（q，aq），都在函数上，即，
所以，，消去k得 ①，以下考查数列的增减情况，
，
当n＞2时，n2-3n+1＞0，所以对于数列{bn}为递减数列
∴不可能存在p，q使得①式成立，因而不存在．